Предмет: Математика, автор: alfersasha2

Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр каждого из которых равно 16875. Ответ необходимо представить в виде целого числа

Ответы

Автор ответа: sergeevaolga5

Разложим число 16875 на простые множители:

16875 | 5

3375 | 5

675 | 5

135 | 5

27 | 3

9 | 3

3 | 3

Получаем 8 простых множителей - однозначных чисел.

Следовательно, из цифр 5, 5, 5, 5, 3, 3, 3, 1 путём перестановки, можно составить восьмизначные числа, произведение цифр которых будет равно 16875.

16875=5*5*5*5*3*3*3*1

Заметим, что из имеющихся простых чисел только произведение двух троек даст нам однозначное число - 9, следовательно из цифр 5,5,5,5,9,3,1,1 путём перестановки, можно также получить восьмизначные числа, произведение цифр которых будет равно 16875.

16875=5*5*5*5*9*3*1*1

Для подсчёта количества таких чисел пользуемся формулой перестановки с повторениями, учитывая, что в первом случае цифра "3" повторяется 3 раза, цифра "5" - 4 раза, цифра "1" - 1 раз, а во втором случае цифра "5" повторяется 4 раза, цифра "9" - 1 раз, цифра "3" - 1 раз и цифра "1" - 2 раза.

$P_{3,4,1}+P_{4,1,1,2}=\frac{(3+4+1)!}{3!4!1!}+\frac{(4+1+1+2)!}{4!1!1!2!}=\\\\=\frac{8!}{3!4!}+\frac{8!}{4!2!}=\frac{5*6*7*8}{2*3}+\frac{5*6*7*8}{2}=280+840=1120$