3. Две прямые касаются окружности с центром О в точках А и В и пересекаются в точке С. Найдите угол между этими прямыми, если ∟ВАО =65⁰.

Ответ: 115°.

Объяснение: Проведём хорду АВ и рассмотрим треугольник АВО-равнобедренный, так как АО и ВО радиусы.

Следовательно, ∠ВАО=∠АВО=(180°-65°):2=115°:2=57,5°.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Значит, ∠А=∠В=90°.

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны. Следовательно, АС=ВС. Значит, треугольник АВС-равнобедренный, а значит ∠ВАС=∠АВС.

∠ВАС=90°-57,5°=32,5°.

∠С=180°-(32,5°+32,5°)=180°-65°=115°.