Предмет: Алгебра, автор: batoriyulia

Объясните, как решать.

cos^2(2x) − 5 sin^2(x) + 1 = 0

Ответы

Автор ответа: MrSolution

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$cos^22x-5sin^2x+1=0$

Очевидно, что нужно понизить степень у синуса и уйти на квадратное уравнение только с косинусом, чтобы потом применить замену:

$cos^22x-5\times\dfrac{1-cos2x}{2}+1=0$

Теперь для удобства все домножим на 2:

$2cos^22x+5cos2x-3=0$

Делаем замену: cos2x=t, -1<=t<=1

$2t^2+5t-3=0$

Это 7-ой класс:

$2t^2+6t-t-3=0\\2t(t+3)-(t+3)=0\\(t+3)(2t-1)=0\\t=-3\\t=1/2$

-3 посторонний корень

=> в результате обратной замены получим:

$cos2x=1/2\\\\2x=\dfrac{\pi}{3}+2n\pi,\;n\in Z\\2x=-\dfrac{\pi}{3}+2n\pi,\;n\in Z\\\\\\x=\dfrac{\pi}{6}+n\pi,\;n\in Z\\x=-\dfrac{\pi}{6}+n\pi,\;n\in Z$

Уравнение решено!

Сейчас, кстати увидел 2-ой способ решения:

$cos^22x-5sin^2x+1=0\\(2cos^2x-1)^2-5(1-cos^2x)+1=0\\4cos^4x-4cos^2x+1-5+5cos^2x+1=0\\4cos^4x+cos^2x-3=0\\4cos^4x+4cos^2x-3cos^2x-3=0\\4cos^2x(cos^2x+1)-3(cos^2x+1)=0\\(cos^2x+1)(4cos^2x-3)=0\\=>\\1)\\cos^2x=-1\\x\in\varnothing\\\\2)\\4cos^2x-3=0\\4cos^2x=3\\cos^2x=\dfrac{3}{4}\\1+cos2x=3/2\\cos2x=1/2$

Пришли к тому же ответу.

batoriyulia: А нельзя сделать так:
cos^2=3/4
cosx=+-корень из 3/2
x1=pi/6+2pk
x2=5pi/+2pk
?
Или ответ исключительно с ...+pk?

MrSolution: У вас 4 корня будет вашим способом, которые потом надо объединить в 2. Вы этого не сделали и потому у вас 2pk, хотя должен быть pk. Всегда понижайте степень, если это возможно. Данное уравнение вообще проще решить 1-ым способом и задание скорее всего на эту формулу. Вот они: https://umath.ru/img/trig/07.PNG