Предмет: Алгебра, автор: elizaveta34537

Решите уравнение: $cos(x)-sin(x)cos(4x)=\sqrt{2}$

Ответы

Автор ответа: Guerrino

0

Заметим, что $\sin x\neq 0$ (при этих $x$ левая сторона не равна правой).

Теперь рассмотрим два случая:

1) $\sin x>0$ . Из этого следует, что $\sin x(1+\cos4x)\geq 0 \Leftrightarrow \sin x\geq -\sin x \cos4x \Leftrightarrow \cos x+\sin x\geq \cos x-\sin x\cos4x$ . Обратим внимание на последнюю часть неравенства: $\sqrt{2}\cos(x-\pi/4)=\cos x+\sin x\geq \cos x-\sin x\cos4x=\sqrt{2}$ , откуда $\sqrt{2}\cos(x-\pi/4)\geq \sqrt{2} \Leftrightarrow \cos(x-\pi/4)\geq 1$ , что верно только при $x=\frac{\pi}{4}+2\pi z$ , синус при этих значениях положителен.

2) $\sin x<0$ . Поступаем аналогично: $\sin x(-1+\cos4x)\geq 0 \Leftrightarrow -\sin x+\sin x \cos4x\geq 0\Leftrightarrow \cos x-\sin x\geq \cos x-\sin x\cos4x$

откуда $\sqrt{2}\cos(x+\pi/4)=\cos x-\sin x\geq \cos x-\sin x\cos4x=\sqrt{2}$ , наконец, $\cos(x+\pi/4)=1$ , получаем $x=\frac{7\pi}{4}+2\pi n$ .

Ответ: $\pi/4+2\pi z,\; 7\pi/4+2\pi n$

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Русский язык, автор: rustamkhamroev

синоним к слову морок

2 года назад

Предмет: Українська мова, автор: isi07

Придумати речення з прислівниками : від життя, без рушників, на щастя, посередині, од неба, над вікном і дверима.

2 года назад

Предмет: Українська мова, автор: Lizok18

синоним к слову вигадати
скорей пожалуйстаааа

2 года назад

Предмет: Алгебра, автор: alekseybelench

Найти интеграл. Задание на картинке

8 лет назад

Предмет: Математика, автор: 2004тигр2004

Если число 1500 разделить на две части так, чтобы 4% первой части в сумме с 12% второй части составили 10,4% всего числа, то меньшая часть числа равна

8 лет назад