Предмет: Алгебра, автор: Rasul4eg

Найти сумму числового ряда

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Аноним

$\displaystyle \sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^n=\dfrac{4}{5}\sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n-1}$

Рассмотрим сумму ряда $\displaystyle\sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n-1}$ . Положим $x=\dfrac{4}{5}$ , получаем

$\displaystyle \sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot x^{n-1}=\left(\sum^{+\infty}_{n=0}x^n\right)'=\left(\dfrac{1}{1-x}\right)'=\dfrac{1}{(1-x)^2}$

Пояснения: здесь $|x|<1$ , значит эта сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $1$ и знаменателем $x.$

Подставляя $x=\dfrac{4}{5}$ , мы получаем $\dfrac{1}{(1-4/5)^2}=25$ , тогда окончательно имеем, что $\displaystyle \sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^n=\dfrac{4}{5}\cdot 25=20$

Ответ: 20.

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Другие предметы, автор: sh921921

Что общего у русской избы и квартиры студии?

2 года назад

Предмет: Русский язык, автор: NadinkaP

как пишедся слова эскалятер

2 года назад

Предмет: Русский язык, автор: elena220281

какие цели могут быть у собеседника в речевом общении

2 года назад

Предмет: История, автор: Polina257382

охарактеризуйте основные категории крестьян на Руси.Чем различалось их положение?Что было общим? помогите пожалуйста

8 лет назад

Предмет: Литература, автор: leramaiors

сочинение - отзыв о прочитанной книге (по повести Гоголя "Майская ночь...".
помогите пожалуйста 20 баллов

8 лет назад