Предмет: Математика, автор: igorShap

Для любого действительного значения x выполняется равенство $f(x+2)+af(x)=f(x+1)$ , при этом $f(3)=2013, a=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}, f: R\to R$ Найдите $f(2013)$

aastap7775: Ответа нет случайно? Какой-нибудь (3+sqrt(5))/(sqrt(5)-1)

aastap7775: А, не(

igorShap: Задача встречена на просторах сайта, и не получила решения, потому ответа, к сожалению, нет

MaxLevs: +-

OneGyrus: Это чем то похоже на ряд Фибоначи, но скорее для произвольной линейной функции. Эта задача может быть решена при помощи рассмотрения формулы суммы степеней квадратного уравнения. Может быть завтра напишу.

Ответы

Автор ответа: Аноним

Заметим, что a - корень уравнения $a^2 - 3a+1=0$

Имеем $f(x+2) = f(x+1) - af(x)$

Рассмотрим последовательность

$f(x) = p\\f(x+1) = q\\f(x+2) = q-ap\\f(x+3) = q(1-a)-ap\\f(x+4) = q(1-2a) + (a^2-a)p = q(1-2a)+p(2a-1)\\f(x+5) = q(1-3a+a^2) + p(a^2+2a-1) = (5a-2)p = (5a-2)f(x)$