Докажите, что для каждого целого числа a существует целое число b такое, что ax ^ 2- (a ^ 2 + b) x + b = 0 имеет два кореей целых числа

Для a=0 спорно, потому что уравнение превращается в -bx+b=0, у него либо один корень x=1 при b≠0 либо все числа при b=0. С другой стороны, если все числа, то два уж точно найдутся.

Вариант b=0 отлично подходит и для  a≠0. В самом деле, при b=0

Два различных корня этого уравнения x=0  и x=a, естественно, целые.

Ответ: такое b существует и равно 0