Предмет: Алгебра, автор: vladgujjvan0

Найти общее решение дифференциального уравнения. Под цифрой 3. Не через калькулятор и как можно подробнее.​

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Artem112
2

y''=2yy'

Это дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, так как оно не содержит в своей записи переменную x.

Замена:

y'=p

\Rightarrow y''=p'=\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx} =y'\cdot\dfrac{dp}{dy}= p\cdot\dfrac{dp}{dy}

Получим уравнение:

p\cdot\dfrac{dp}{dy}=2yp

Если p=0, то есть y'=0, то \boxed{y=C}

Если p\neq 0, то:

\dfrac{dp}{dy}=2y

dp=2ydy

\int dp=\int 2ydy

p=y^2+C_1

Обратная замена:

y'=y^2+C_1

\dfrac{dy}{dx} =y^2+C_1

\dfrac{dy}{y^2+C_1} =dx

\int\dfrac{dy}{y^2+C_1} =\int dx

\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{C_1}}\mathrm{arctg}\dfrac{y}{\sqrt{C_1}} =x+C_2} - общий интеграл уравнения

Выразим функцию в явном виде:

\mathrm{arctg}\dfrac{y}{\sqrt{C_1}} =x\sqrt{C_1}+C_2\sqrt{C_1}

\dfrac{y}{\sqrt{C_1}} =\mathrm{tg}\left(x\sqrt{C_1}+C_2\sqrt{C_1}\right)

\boxed{y=\sqrt{C_1}\cdot\mathrm{tg}\left(x\sqrt{C_1}+C_2\sqrt{C_1}\right)}

Предыдущий вопрос
Следующий вопрос
Интересные вопросы
Предмет: Русский язык, автор: marianakamilova
К слову "ножик" найти однокоренное слово
2 года назад
Предмет: Другие предметы, автор: elizaveta2201051
Как переводится с татарского на русский:
сүзләрне төрләндерергә?
2 года назад
Предмет: Русский язык, автор: 89874237977
Упражнение 124!!! Срочно нужно!!!
2 года назад
Предмет: Математика, автор: ккелитта
Ребят помогите очень срочно. Прошу..
Из одного порта в другой одновременно отправились теплоход и катер. Скорость теплохода составляет 25 км/ч, а скорость катера - 33 км/ч.
Какое расстояние между ними будет через 11 часов ?
8 лет назад
Предмет: Математика, автор: gifujhgijije
Помогите! Срочно!
Задачу нужно решить с помощью уравнения.
Две бригады хлопкоробов собрали вместе 20,4 ц хлопка за день. При этом первая бригада собрала на 1,52 ц больше второй. Сколько центнеров собрала каждая бригада?
8 лет назад