Предмет: Алгебра, автор: bagnuk02p124ir

при яких значеннях параметра а нерівність ax^2-4x+a+3<0 виконується при всіх дійсних значеннях х

Ответы

Автор ответа: axatar

Ответ:

a ∈ (-∞; -4)

Объяснение:

Перевод: При каких значениях параметра а неравенство

a·x²- 4·x + a + 3 < 0

выполняется при всех действительных значениях х?

Решение. Неравенство рассматривается как параметрическое и поэтому исследуем при различных критических значениях параметра а.

1-случай: а = 0. Тогда получаем неравенство

-4·x + 3 < 0 ⇔ 3 < 4·x ⇔ 3/4 < x

и решением будет интервал (3/4; +∞).

Так как неравенство выполняется не при всех действительных значениях х, то этот случай не подходит.

2-случай: а ≠ 0. По свойству квадратной функции

y = a·x² + b·x + c

её значения будут отрицательными при всех действительных значениях х, если

$\displaystyle \tt \left \{ {{a<0} \atop {b^2-4 \cdot a \cdot c <0}} \right..$

В нашем случае для квадратной функции

y = a·x²- 4·x + a + 3

должна выполнятся условия:

$\displaystyle \tt \left \{ {{a<0} \atop {(-4)^2-4 \cdot a \cdot (a+3) <0}} \right..$

Решаем последнюю систему неравенств $\displaystyle \tt \left \{ {{a<0} \atop {16-4 \cdot a \cdot (a+3) <0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a<0} \atop {4-a \cdot (a+3) <0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a<0} \atop {4-a^2 -3 \cdot a <0}} \right. \Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow \left \{ {{a<0} \atop {a^2 +3 \cdot a -4 >0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a<0} \atop {(a+4) \cdot (a-1) > 0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a \in (- \infty; 0)} \atop {a \in (- \infty; -4) \cup (1; +\infty)}} \right. \Leftrightarrow$ ⇔ a ∈ (-∞; -4).