Докажите, что угол между двумя касательными к окружности измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами.

Ответ:

Проведем ОА и ОС - радиусы в точки касания.

По свойству касательных ОА⊥АВ и ОВ⊥ВС.

• Сумма углов четырехугольника равна 360°.

∠АОС + ∠АВС + ∠ОАВ + ∠ОСВ = 360°

• Градусная мера центрального угла равна равна градусной мере соответствующей дуги.

α + ∠АВС + 90° + 90° = 360°

∠АВС + α = 180°     (1)

• Полная окружность составляет 360°.

α + β = 360°

Вычтем из этого уравнения уравнение (1):

α + β - ∠АВС - α = 180°

β - ∠АВС = 180°

С учетом (1) получаем:

∠АВС + α = β - ∠АВС

2 · ∠АВС = β - α