стороны основания правильной треугольной пирамиды равны a√3, угол между боковым ребром и высотой равен α. найти радиус шара, описанного вокруг данной пирамиды.

Радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды, равен r = a/V3,
где а - сторона треугольника основания.
Для нашего случая a = aV3, тогда r = aV3 / V3 = a.
Высота пирамиды равна H = r / tg a = a * cos a / sin a.
Боковое ребро равно b = r / sin a = a / sin a.
Радиус шара, описанного вокруг данной пирамиды, находится из выражения
R = b^2 / 2H = (a^2*sin a) / (sin^2 a*2*cos a) = a^2 / (2*sin a*cos a) = a^2 / sin 2a