Решить диффиринциальые уравнения

Ответ: 1. y=C*e^[cos(x)]+1; 2. y=1/3*√(2*x-1)-1; 3. y=e^(2*x)*[C1*cos(4*x)+C2*sin(4*x)]

Пошаговое объяснение:

1. Перепишем уравнение в виде y'+y*sin(x)-sin(x)=0. Это - ЛДУ 1 порядка, положим y=u*v. Тогда y'=u'*v+u*v' и уравнение примет вид: u'*v+u*v'+u*v*sin(x)-sin(x)=v*[u'+u*sin(x)]=u*v'-sin(x)=0. Так как одной из функций u или v мы можем распорядиться по произволу, то поступим так с u и потребуем, чтобы она удовлетворяла уравнению u'+u*sin(x)=0, или du/dx=-u*sin(x). Решая его, находим u=e^[cos(x)]. Подставляя это выражение в уравнение u*v'=sin(x), получаем уравнение v'=dv/dx=sin(x)*e^[-cos(x)]. Решая его, находим v=C+e^[-cos(x)], где C - произвольная постоянная. Отсюда y=u*v=C*e^[cos(x)]+1.  

2. Данное уравнение можно переписать в виде dy/dx=(y+1)/(2*x-1), или dy/(y+1)=dx/(2*x-1). Интегрируя, находим ln/y+1/=1/2*ln/2*x-1/+1/2*ln/C/, где C - произвольная, но не равная нулю постоянная. Отсюда y=√[C*(2*x-1)]-1. Используя условие y(5)=0, получаем уравнение √(9*С)=1, откуда C=1/9. Тогда искомое частное решение y=1/3*√(2*x-1)-1.

3. Имеем однородное ЛДУ 2 порядка. Составляем характеристическое уравнение: k²-4*k+20=0. Оно имеет комплексные сопряжённые корни k1=2+4*i и k2=2-4*i, где i=√(-1). Поэтому общее решение уравнения таково: y=e^(2*x)*[C1*cos(4*x)+C2*sin(4*x)], где C1 и C2 - произвольные постоянные.