Предмет: Математика, автор: akimcherepanov

Найдите остаток от деления 30^99+61^99 на 31.

Ответы

Автор ответа: Olga8128
10

  Способ 1.   Бином Ньютона  

\displaystyle 30^{99}+61^{99} = (31-1)^{99}+(62-1)^{99} = \\\\= \underbrace {C^0_{99} \cdot 31^{99} - C^1_{99} \cdot 31^{98} + C^2_{99} \cdot 31^{97} - ... + C^{98}_{99} \cdot 31}_{: \; 31} \,\, - \,\, 1 \,\,\, + \\\\+ \underbrace {C^0_{99} \cdot 62^{99} - C^1_{99} \cdot 62^{98} + C^2_{99} \cdot 62^{97} - ... + C^{98}_{99} \cdot 62}_{: \; 62 \, = \, 2\cdot31} \,\, - \,\, 1

Применив бином Ньютона, мы обнаружили, что 30^{99}+61^{99} - это что-то, делящееся на 31 и еще минус 2. То есть искомый остаток - это 29.

  Способ 2.   Остатки по модулю  

30^{99}+61^{99} \equiv (-1)^{99} + (-1)^{99} \equiv (-1)+(-1) \equiv 29 \,\,\, \mod 31

Заметив, что и 31, и 61, - это -1 по модулю 31, мы получаем тот же ответ.

Ответ: 29.

Предыдущий вопрос
Следующий вопрос
Интересные вопросы
Предмет: Математика, автор: Аноним
На рисунка трое часов изображены.
первые показывают 11 ч с лева часы спешат на 1 ч 50 минут (на циферблате изображено 9ч.10 м. ) и часы справа отстают на 2 ч 25 минут ,Кокова разница во времени ,которое они показывают ? Время суток утро .
2 года назад
Предмет: Алгебра, автор: Misa99
Решение уравнения с логарифмами. Просьба помочь)
2 года назад
Предмет: Литература, автор: cip0608
О чем рассказывается в 8 главе Евгения Онегина
2 года назад
Предмет: Математика, автор: sayxnitck
помогите!!! Пожайлуста!!! Зарание Спасибо!
8 лет назад
Предмет: Русский язык, автор: B4G4
Напишите пожалуйста эссе-повествование на тему ‘Откуда берётся хлеб’
8 лет назад