Предмет: Геометрия, автор: Coheer

В правильной четырехугольной пирамиде МАВСД сторона основания равна 4√3 см , а боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов. Найдите объем пирамиды и площадь боковой поверхности.

Заранее большое спасибо

Ответы

Автор ответа: Rasta13

Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, в основании квадрат со стороной 4√3 см. Угол МАС=60 градусов.
Рассмотрим треугольник ADC-прямоугольный.
$AC^{2} = AD^{2} + CD^{2}$
$AC^{2} = (4sqrt{3} )^{2} + (4sqrt{3} )^{2}$ $AC = 4 sqrt{6}$
Проведем высоту пирамиды МО.
$AO = frac{AC}{2}$
$AO=2 sqrt{6}$
Угол AMO=30 градусов (т.к. 180-90-60=30). Катет, лежащий напротив угла в 30 гр., равен половине гипотенузы.
АМ = 2АО
$AM=4 sqrt{6}$
Рассмотрим треугольник АОМ-прямоугольный.
$MO= sqrt{ AM^{2}- AO^{2} }$
$MO=6 sqrt{2}$
Площадь основания: $S= AB^{2} =48$
Объем пирамиды: $V = frac{1}{3} * S * h$
$V= frac{1}{3} *48*6 sqrt{2} =96 sqrt{2}$

Проведем из т.О перпендикуляр ОК к стороне AD.
Рассмотрим треугольник КОМ-прямоугольный.
$OK= frac{1}{2} CD$
$OK=2 sqrt{3}$ . $MO=6 sqrt{2}$
$MK = sqrt{ (2 sqrt{3}) ^{2}+ (6 sqrt{2}) ^{2} } = sqrt{84}$
$S (AMD) = frac{1}{2} * MK*AD$
$S= frac{1}{2} *4 sqrt{3} * sqrt{84} =12 sqrt{7}$
Площадь боковой поверхности: $S = 12 sqrt{7} *4 = 48 sqrt{7}$