Предмет: Математика, автор: lemurity

Убедиться, что дифференциальное уравнение однородное и решить его

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Miroslava227
1

Ответ:

( {x}^{2} + 2xy)dx + xydy = 0 \\ xydy = - ( {x}^{2} + 2xy)dx \\ xyy' = - ( {x}^{2} + 2xy) \\ | \div {x}^{2} \\ \frac{y}{x} y' = - (1 + \frac{2y}{x} )

y'= f( \frac{y}{x} ) \\

Это однородное ДУ

Замена:

\frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u \\ \\ u(u'x + u) = - (1 + 2u) \\ u'x + u = \frac{ - 1- 2u}{u} \\ u'x = \frac{ - 1 - 2u - u {}^{2} }{u} \\ \frac{du}{dx} x = - \frac{ {u}^{2} + 2u + 1}{u} \\ \int\limits \frac{u}{u {}^{2} + 2 u + 1} du = - \int\limits\frac{1}{x} dx \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{2udu}{u {}^{2} + 2u + 1} = - ln( |x| ) + c \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{2u + 2 - 2}{ {u}^{2} + 2u + 1} du = - ln( |x| ) + c \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{2u + 2}{u {}^{2} + 2u + 1} du - \int\limits \frac{d(u + 1)}{(u + 1) {}^{2} } = - ln( |x| ) + C\\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(u {}^{2} + 2u + 1)}{u {}^{2} + 2 u + 1} + \frac{1}{u + 1} = - ln( |x| ) + C \\ \frac{1}{2} ln( | {u}^{2} + 2u + 1 | ) + \frac{1}{u + 1} = - ln( |x| ) + C \\ \frac{1}{2} ln( | \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } + \frac{2y}{x} + 1 | ) + \frac{1}{ \frac{y}{x} + 1 } = - ln( |x| ) + C \\ \frac{1}{2} ln( | \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } + \frac{2y}{x} + 1 | ) + \frac{x}{y + x} = - ln( |x| ) + C

общее решение

Предыдущий вопрос
Следующий вопрос
Интересные вопросы
Предмет: Русский язык, автор: alain0570
Расмотрите рисунки.Произнесите слова-названия предметов.голубь,книга,улитка,шапка,юбка.Запешите эти слова,пропуская в них букву,обозначающую парный по глухости-звонкости согласный звук на конце слова или перед другим парным согласным .Обьясните,как подобрать проверочное слово для каждого из данных слов.Впишите в слова пропущенные буквы.
2 года назад
Предмет: Английский язык, автор: УченицаАня1
Помогите пожалуйста! До завтра, я не понила эту тему. Заранее спасибо!
2 года назад
Предмет: Окружающий мир, автор: 1095275274574
какие животные впадают в спячку
2 года назад
Предмет: Английский язык, автор: улдана2
помагите пжжж по англ.яз
8 лет назад
Предмет: Русский язык, автор: alinaminih
Помогите!! Укожи род число и подеж у этих существительных:
Деревянный,рыжая,ясным,нежно-голубым,золотистым,длинные,рыжий,холодные,серые,тёмно-синие,синий,жёлтый,зелёный,белый.
8 лет назад