Дві сторони трикутника дорівнюють 3 коренів з 2 і 4 см. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо вона відноситься до радіуса описаного кола як корінь з 2 :1.

Ответ:

Две стороны √2 и √3

неизвестная сторона x

Радиус описанной окружности R

Полупериметр

p = (x + √2 + √3)/2

Площадь по формуле Герона

S² = p(p-a)(p-b)(p-c)

S² = 1/2⁴*(x + √2 + √3)(x + √2 + √3 - 2√2)(x + √2 + √3 - 2√3)(x + √2 + √3 - 2x)

16S² = (x + √2 + √3)(x + √3 - √2)(x + √2 - √3)(√2 + √3 - x)

---

Первые две скобки

(x + √2 + √3)(x + √3 - √2) = x² + 2√3*x + 1

Третья и четвёртая скобки

(x + √2 - √3)(√2 + √3 - x) = - x² + 2√3*x - 1

полное произведение

(x² + 2√3*x + 1)(- x² + 2√3*x - 1) = - x⁴ + 10x² - 1

---

16S² = - x⁴ + 10x² - 1

---

РАдиус описанной окружности через площадь и стороны

R = abc/(4S)

R = x√2√3/(4S)

R² = x²*2*3/(16S²)

16S²*R² = 6x²

по условию R = x

(- x⁴ + 10x² - 1)x² = 6x²

- x⁴ + 10x² - 1 = 6

- x⁴ + 10x² - 7 = 0

подстановка t = x²

t² - 10t + 7 = 0

t₁ = (10 - √(100 - 28))/2 = 5 - √72/2 = 5 - √18 = 5 - 3√2 ≈ 0,7574 > 0

x₁ = +√(5 - 3√2)

(отрицательный корень отбросили)

t₂ = (10 + √(100 - 28))/2 = 5 + 3√2

x₂ = +√(5 + 3√2)

(ещё один отрицательный корень отбросили)

Итого - два ответа

√(5 - 3√2)

√(5 + 3√2)