В угол с вершиной С вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках А и В. Известно, что некоторая точка Р, лежащая на меньшей из дуг АВ окружности, удалена на расстояние 2 от прямой АВ и на расстояние 5 от прямой ВС. Найдите расстояние от точки Р до прямой АС.

Ответ:

∠РАВ=∠РВС (∠РАВ опирается на дугу ВР,значит равен ее половине; ∠РВС – угол между касательной и хордой, выходящими из одной точки, то есть равен половине дуги, заключенной внутри этого угла, т.е. половине дуги ВР)

Значит, прямоугольные △AEP ∼ △BGP по 2–м углам => АР/ВР=ЕР/GP=1/4

Аналогично, ∠РВА=∠РАС и △BEP ∼ △AFP => AP/BP=FP/EP

FP/EP=1/4

FP=1/4·EP=1/4·1=1/4=0,25