Докажите , что при любом натуральном

n³ + 3n² + 2n = n(n² + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2)

разложим n² + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2)

D = 9 - 8 = 1

n12 = (-3 +- 1)/2 = -1   -2

----

из трех подряд натуральных чисел одно обязательно делится на 3 и одно четно

значит произведение кратно 2*3 = 6

Доказательство

 Идея: Разложить многочлен на множители, а затем их проанализировать.

 Вынесем общий множитель

 Для разложения квадратного трехчлена решим эквивалентное квадратное уравнение

 Тогда

 Таким образом

 Получили произведение трёх чисел, идущих подряд одно за другим. Среди таких чисел обязательно найдётся чётное число, а также число, кратное 3. Т.е. в разложении выражения на множители присутствует и 2, и 3. Следовательно значение выражения кратно и их произведению, т.е. 6.

Ч.т.д.