7. В рівнобедреному трикутникуАВС центри описаного та вписаного кіл є симетричними
відносно основи. Знайдіть кути трикутника ABC.​

Ответ: 108,  36, 36  градусам.

Объяснение:

во вложении

В равнобедренном треугольнике АВС центры описанной и вписанной окружностей являются симметричными  относительно основания . Найдите углы треугольника ABC.​

Решение

1)  Центр вписанной окружности всегда расположен внутри треугольника , в точке пересечения биссектрис.

Центр описанной окружности , в данной задаче ,по условию должен находится вне треугольника ( для симметричности относительно основания АС) ; и находится в точке пересечения серединных перпендикуляров .

2) Пусть В-центр Вписанной окружности , О-центр Описанной окружности для ΔАРС ,АР=СР .

Тогда АВ,СВ- биссектрисы равных углов при основании АС ⇒ ∠ВАН=∠ВАР=∠ВСР=∠ВСН обозначим за α .

Т.к. точки В и О симметричны относительно АС , то ВН=ОН , где Н∈АС и РН-серединный перпендикуляр . Тогда ΔНАВ=ΔНАО=ΔНСВ=ΔНСО как прямоугольные по двум катетам.Получаем ∠ОАН=∠ВАН=∠ОСН=∠ВСН=α

3) Т.к О равноудалена от концов отрезка РС , по свойству  серединного перпендикуляра , то ΔОРС-равнобедренный ⇒∠ОРС=∠ОСР=3α . Поэтому ∠ОРК=3α ( РН-сер. перпендикуляр , биссектриса).

4) ΔАРС , по т. о сумме углов треугольника ∠А+∠Р+∠С=180° или 2α+6α+2α=180° ,        α=18°

∠А=∠С=2*18°=36°,      ∠Р=6*18°=108°