Найдите все целые числа такие, что 7x2 + 11 = 15y2.

Перепишем уравнение в виде 5(x²-3y²+2)+2x²+1=0. Вывод: 2x²+1 должен делиться на 5. Однако ни при каких целых x это не выполнено. Для доказательства рассмотрим несколько случаев.

1) x=5n⇒2x²+1=50n²+1 на 5 не делится.

2) x=5n±1⇒ 2x²+1=50n²±20n+3  на 5 не делится.

3) x=5n±2⇒2x^2+1=50n²±40n +9 на 5 не делится.

Поскольку каждое целое число имеет один из указанных трех видов (например, 35=5·7; 36=5·7+1; 37=5·7+2; 38=5·8-2; 39=5·8-1),

доказано, что исходное уравнение не имеет решений в целых числах.