Предмет: Математика, автор: 143degctym

При каком наибольшем значении параметра a уравнение x^3−4x/x−2=a имеет ровно один корень?

Приложения:

antonovm: 8 ..

143degctym: Комментарий не отображается к сожалению

eva741212: там а = -1

eva741212: просто я не знаю как вы это расписывает

eva741212: я просто график построила и вершина параболы там на -1

143degctym: получается в ответе должно быть -1 наибольшое значение с одним корнем?

eva741212: а=-1 наименьшее

eva741212: так как х не может равняться 2 значит второй а=8 это наибольший только проверь пожалуйста просто подставить вместо а и решить

143degctym: Большое спасибо

Ответы

Автор ответа: zinaidazina

$\frac{x^{3} -4x}{x-2}=a$ ОДЗ: $x-2\neq 0$ => $x\neq 2$

$\frac{x(x^{2} -4)}{x-2}=a$

$\frac{x(x^{2} -2^2)}{x-2}=a$

$\frac{x(x-2)(x+2)}{x-2}=a$

$x(x+2)=a$

$x^2+2x=a$

$x^2+2x-a=0$

$D=4-4*1*(-a)=4+4a$

1) Квадратное уравнение имеет ровно один корень при условии, если дискриминант равен нулю.

$D=0$

$4+4a=0$

$4a=-4$

$a=-4:4\\$

$a=-1$

2) Квадратное уравнение будет иметь тоже один корень при условии, если один из двух корней не удовлетворяет ОДЗ, иначе

в уравнение $x^2+2x=a$ подставим $x=2$ .

$a=2^2+2*2$

$a=8$

Из двух значений $a=-1$ и $a=8$ наибольшим значением будет $a=8$ . параметра

Проверка $a=8$ :

$\frac{x^{3} -4x}{x-2}=8$

$\frac{x^{3} -4x}{x-2}-8=0$

$\frac{x^{3} -4x-8x+16}{x-2}=0$

$\frac{x^{3} -12x+16}{x-2}=0$ <=> $\left \{ {{x^3-12x+16=0} \atop {x-2\neq 0}} \right.$ <=> $\left \{ {{(x^{3} -4x)-(8x-16)=0} \atop {x\neq 2}} \right.$

$x(x^{2} -4)-8(x-2)=0$

$x(x-2)(x+2)-8(x-2)=0$

$(x-2)(x^{2} +2x-8)=0$

=> 1) $x-2=0$ => $x_1=2$

2) $x^{2} +2-8=0$

$x_2=2$ не удовлетворяет ОДЗ.

$x_3=-4$

Т.к. $x_1=x_2= 2$ , не удовлетворяющие ОДЗ., то получается ровно один корень $x=-4$ .

Ответ: при $a=8$ .

antonovm: неверно , уравнение имеет один корень не только , если D =0 , но и когда уравнение X^2 +2x - 2 имеет 2 корня , один из которых совпадает с x = 2 , то есть при a = 8 ; подставьте 8 и убедитесь , что корень будет один ( -4 )

antonovm: x^2 +2x -a = 0 ( не двойка )

eva741212: там а может быть и -1 и 8 но в задании нужно наибольшее а =8

antonovm: так в любом случае ( наибольшее или наименьшее ) надо рассматривать 2 варианта и из них выбирать один

eva741212: согласна

zinaidazina: Удалите этот ответ!

zinaidazina: Исправлено! Ответ: а=8