При монархии был важен и король (,) и церковь.
Можем пойти и в кинотеатр(,) и в цирк.
Нужна ли запятая?

Да, в каждом случае.

Если союз «и» повторяющийся и соединяет два однородных члена предложения, то запятая ставится перед его второй частью.

При монархии был важен и король, и церковь.

Можем пойти и в кинотеатр, и в цирк.

Ответ: запятая нужна.

При монархии был важен и король (___), и церковь (___).

Можем пойти и в кинотеатр (_._._), и в цирк (_._._).

Объяснение: при повторяющемся союзе (и) между однородными членами ставится запятая.