Предмет: Математика, автор: sobakazabiyaka

Найти общее и частное решение ДУ

Приложения:

Ответы

Автор ответа: igorShap

ДУ перепишем в виде

$xy'\ln \dfrac{y}{x}+y=y\ln \dfrac{y}{x}$

Замена $x z(x)=y\Rightarrow z+xz'=y'$ :

$x(z+xz')\ln z+xz=xz\ln z\\ z\ln z+xz'\ln z+z=z\ln z\\ xz'\ln z+z=0\\ \dfrac{\ln z dz}{z}=-\dfrac{dx}{x}$

$$(*)\int \dfrac{\ln z dz}{z} =\int \ln z \;d(\ln z)=\dfrac{\ln ^2 z}{2}+C (*)$

$\dfrac{\ln ^2 z}{2}+C=-\ln x$

Возвратимся к исходной переменной:

$\dfrac{\ln ^2 \frac{y}{x}}{2}+C=-\ln x$ - общий интеграл ДУ

Определяем константу из начального условия:

$\dfrac{\ln ^2 \frac{e}{1}}{2}+C=-\ln 1\\ \dfrac{1}{2}+C=0\\ C=-\dfrac{1}{2}$

Окончательно

$\ln ^2 \frac{y}{x}+2\ln x=1$ - частный интеграл ДУ

Интересные вопросы

Предмет: Русский язык, автор: максим483

2 года назад

Предмет: Қазақ тiлi, автор: mariei

2 года назад

Предмет: Русский язык, автор: Āñåńâšįk

2 года назад

Предмет: Английский язык, автор: nastyasec

8 лет назад

Предмет: География, автор: 123456654123

8 лет назад