Докажите что функция y=√x возрастает на всей области определения

Функция возрастает там, где её первая производная больше нуля.

Найдём производную:

Значение под корнем не может быть меньше нуля, и на нуль делить нельзя, значит, и х всюду больше нуля, и значение производной dy/dx всюду больше нуля, т.е. положительное.

Значит, функция у = √х всюду возрастает.