Предмет: Математика, автор: Erop555

Укажите наименьшее натуральное число, у которого ровно 30 различных целых нечётных делителей.

Ответы

Автор ответа: polinabognibova

Простые множители, на которые раскладывается натуральное число, могут повторяться. В таких случаях, для удобства, часто записывают разложение с помощью степеней.

Показатель степени показывает, сколько раз множитель встречается в разложении.

Так вот, любое натуральное число n имеет каноническое разложение на простые множители:

$n=p^{a_1}_1\cdot p^{a_2}_2\cdot p^{a_3}_3\cdot ...\ p^{a_k}_k$

Смысл здесь в том, что простой множитель p₁ встречается a₁ раз, простой множитель p₂ встречается a₂ раз и т.д.

При этом существует формула нахождения количества делителей натурального числа:

$\tau (n) = (a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)...(a_k+1)$

У натурального числа, которое мы ищем, 30 делителей.

Это значит,

$30 = (a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)...(a_k+1)$ .

Определив, при умножении каких чисел можно получить 30, мы получим разные варианты содержимого скобок, а отсюда и разные варианты показателей степеней в разложении.

1. Рассмотрим первый вариант:

$30 = 6\cdot5$

Значит, имеем:

$30 = \underbrace{(a_1+1)}_{6}\underbrace{(a_2+1)}_{5}$

При а₁ + 1 = 6, а₁ = 5

При а₂ + 1 = 5, а₂ = 4

Эти показатели могут быть расставлены в любом порядке:

$n={p^5__1}\cdot p^4__2$ ,

$n={p^4__1}\cdot p^5__2$ .

Но нам нужно получить наименьшее натуральное число, а значит, мы стремимся к тому, чтобы у меньших множителей был больший показатель степени. Так что показатели должны идти по убыванию.

2 вариант:

$30 = 10\cdot 3$