КАК ПРАВИЛЬНО:
I have got a lot of friends
ИЛИ
I have got many friends

Оба варианта верные, но much и many в утвердительных предложениях звучат настолько формально, что вы почти никогда не услышите их в обычном разговоре. Как правило, они используются только в письменной речи, в официально-деловом стиле.

Поскольку в ваших примерах используется конструкция have got, то следует выбрать предложение I have got a lot of friends.