Предмет: Алгебра, автор: infinitygamermisskot

подскажите, как найти найбольшее значение примера 4sin a + 5 cos a, пожалуйста, с объяснением. заранее, спасибо)

NNNLLL54: не " наибольшее значение примера" , а наибольшее значение функции

infinitygamermisskot: да, правильно подметил

Guerrino: 4sin a + 5 cos a = sqrt(4^2+5^2)*(4/(sqrt(4^2+5^2))*sin a + 5/(sqrt(4^2+5^2))* cos a) = sqrt(41)*sin(a + f) => max значение sqrt(41). здесь cos f = 4/(sqrt(4^2+5^2)). такая замена была сделана, поскольку сумма квадратов величин 4/(sqrt(4^2+5^2)) и 5/(sqrt(4^2+5^2)) равна 1, а потому их можно представить как косинус и синус одного угла, а затем использовать формулу синуса суммы

infinitygamermisskot: спасибо большое

Ответы

Автор ответа: mathkot

2

Ответ:

$\boxed{\sqrt{41}}$

Объяснение:

$max: 4 \sin \alpha + 5 \cos \alpha$

Воспользуемся методом вспомогательного аргумента:

Введем функцию $f(\alpha ) = 4 \sin \alpha + 5 \cos \alpha$

$f(\alpha ) = 4 \sin \alpha + 5 \cos \alpha \bigg |\cdot \dfrac{1}{\sqrt{4^{2} + 5^{2}}}$

$(\sqrt{4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41})$

$\dfrac{f(\alpha )}{\sqrt{41} } = \dfrac{4}{\sqrt{41} } \cdot \sin \alpha + \dfrac{5}{\sqrt{41} } \cdot \cos \alpha$

Пусть $\sin \phi = \dfrac{4}{\sqrt{41} }$ и $\cos \phi = \dfrac{5}{\sqrt{41} }$

Так как $\sin^{2} \phi + \cos^{2} \phi = 1$

$\bigg (\dfrac{4}{\sqrt{41} } \bigg)^{2} + \bigg (\dfrac{5}{\sqrt{41} } \bigg)^{2} = 1$

$\dfrac{16}{41} + \dfrac{25}{41} = 1$

$\dfrac{41}{41} = 1$

$1 = 1$ , следовательно существует такой угол $\phi$ , что $\sin \phi = \dfrac{4}{\sqrt{41} }$ , а $\cos \phi = \dfrac{5}{\sqrt{41} }$ .

$\dfrac{f(\alpha )}{\sqrt{41} } = \sin \phi \cdot \sin \alpha + \cos \phi \cdot \cos \alpha | \cdot \sqrt{41}$

$f(\alpha ) = \sqrt{41}(\sin \phi \cdot \sin \alpha + \cos \phi \cdot \cos \alpha )$

$f(\alpha ) = \sqrt{41} \sin (\phi + \alpha )$

По свойствам функции синус она достигает максимального значения 1, тогда максимум функции $f(\alpha ) = \sqrt{41} \cdot 1 = \sqrt{41}$

$max: f(\alpha ) =\sqrt{41}$

Приложения:

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Русский язык, автор: ник2691

Помогите пожалуйста разобрать этот ребус заранее спасибо

2 года назад

Предмет: Українська мова, автор: diniskucher

з якої мови пішло слово ін'єкція

2 года назад

Предмет: Английский язык, автор: qsqd

перевидите пожалуйста:
Whats missing?Look,say and write.
Ask and answer. Then write.
Read and draw lines.
Зарание спасибо)

2 года назад

Предмет: Математика, автор: daryasha0129

помогите пожалуйста)

8 лет назад

Предмет: Химия, автор: solnce2307

здравствуйте помогите пожалуйста по английскому языку. Read and choose. Это вопросы: 2) What tupe of animal is an elephant? 3) Where's the duck? 4) What are those? 5) Are the chickens eating now? 6) How many legs have horses got? А это варианты ответа: a) Yes, they are. c) They're little frogs! d) It's a mammal. e) Four. f) It's in the house.

8 лет назад