Доказать, что при любом натуральном n число 10^n-4^n+3n делится на 9. (методом мат индукции)

Ответ: утверждение доказано.

Пошаговое объяснение:

1) Пусть n=1, тогда число 10^1-4^1+3*1=9 делится на 9.

2) Допустим, что при любом n=m число 10^m-4^m+3*m делится на 9, т.е. (10^m-4^m+3*m)/9=k, где k - целое число.

3) Докажем, что при переходе от m к m+1 число 10^(m+1)-4^(m+1)+3*(m+1) делится на 9. Так как 10^(m+1)-4^(m+1)+3*(m+1)=10*10^m-4*4^m+3*m+3=(10^m-4^m+3*m)+(9*10^m-3*3^m+3), то [10^(m+1)-4^(m+1)+3*(m+1)]/9=(10^m-4^m+3*m)/9+(9*10^m-3*4^m+3)/9=k+10^m-(4^m-1)/3. Нам остаётся доказать, что число 4^m-1 делится на 3. Для этого используем тот же метод математической индукции: при m=1 (4^1-1)/3=1, положим (4^m-1)/3=p, где p - целое число. Переходя к m+1, получаем число (4^m+3*4^m-1)/3=(4^m-1)/3+3*4^m/3=p+4^m=q - целое число. Этим и доказано, что число (4^m-1) делится на 3, то есть (4^m-1)/3=r - целое число. Тогда k+10^m-(4^m-1)/3=k+10^m+r - тоже целое число, а эти и доказано утверждение.