Предмет: Геометрия, автор: milanotkame

Даю 100 баллов!Срочно!
Диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника. Радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, одинаковы и равны 10.
Найдите стороны четырёхугольника

Ответы

Автор ответа: Guerrino

Пусть рассматривается четырехугольник $ABCD$ , а $O$ -- точка пересечения диагоналей. Заметим, что во-первых, $AB = 2r\sin\angle BOA = 2r\sin \angle COD = CD$ , а во-вторых, $AB = 2r\sin\angle BOA = 2r\sin(180^{\circ}-\angle BOA) = 2r\sin \angle BOC = BC$ , следовательно, $AB=BC=CD=AD$ .

Но тогда такой четырехугольник -- ромб. Поскольку $\angle BOC = 90^{\circ}$ , то $BC = 2r = 20$ , следовательно, все стороны четырехугольника равны $20$ .