Решить уравнение по математике

Ответ: x1=2, x2=-1, x3=2.

Пошаговое объяснение:

а) Составляем и вычисляем определитель системы:

Δ= 1   5  -6 =104≠0, поэтому система имеет единственное решение.

    3   1   4

    2  -3  1

Составляем и вычисляем определители при переменных x1, x2, x3:

Δ1= -15   5  -6 =208,  Δ2= 1  -15  -6 =-104,  Δ3= 1   5   -15 = 208

       13   1    4                    3   13   4                     3   1    13

        9  -3   1                     2    9   1                      2  -3   9

Находим значения переменных: x1=Δ1/Δ=2, x2=Δ2/Δ=-1, x3=Δ3/Δ=2

Подставляя найденные значения переменных в систему уравнений, получаем верные равенства:

2-5-12=-15

6-1+8=13

4+3+2=9

Значит, решение найдено верно.

б) Так как Δ≠0, то обратная матрица существует.

Находим алгебраические дополнения определителя системы Δ:

a11=13, a12=-5, a13=-11, a21=13, a22=13, a23=13, a31=26, a32=-22, a33=-14

Составляем матрицу из алгебраических дополнений:

AΔ= 13   5    -11

       13   13   13

       26 -22 -14

Составляем транспонированную матрицу:

Aт= 13  13   26

       5  13  -22

      -11  13  -14

Составляем обратную матрицу:

A⁻¹=Aт/Δ= 13/104  13/104   26/104

                 5/104   13/104  -22/104

                -11/104   13/104  -14/104

Находим значения переменных:

x1=13/104*(-15)+13/104*13+26/104*9=208/104=2;

x2=5/104*(-15)+13/104*13-22/104*9=-104/104=-1;

x3=-11/104*(-15)+13/104*13-14/104*9=208/104=2

Результаты совпадают с результатами, вычисленными по формулам Крамера - значит, решение найдено верно.

в) Умножим первое уравнение системы на 3, вычтем из него второе уравнение и заменим первое уравнение получившейся разностью. Получим эквивалентную систему уравнений:

         14*x2  - 22*x3 = -58

3*x1 +     x2  +   4*x3 =  13

2*x1 -  3*x2  +       x3 =  9

Умножим второе уравнение системы на 2, третье - на 3, вычтем из второго уравнения третье и заменим второе уравнение получившейся разностью. Получим эквивалентную систему уравнений:

         14*x2 - 22*x3 = -58

          11*x2 +  5*x3 =   -1

2*x1  -3*x2  +     x3 =   9

Умножим первое уравнение на 11, второе - на 14, вычтем из первого уравнения второе и заменим первое уравнение получившейся разностью. Получим эквивалентную систему уравнений:

                    - 312*x3  = -624

            11*x2 +   5*x3  =   -1

 2*x1` - 3*x2  +      x3  =    9

На этом прямой ход метода Гаусса закончен и начинается обратный ход.

Из первого уравнения находим x3=2. Подставляя это значение во второе уравнение, находим x2=-1. Подставляя эти значения в третье уравнение, находим x1=2. Результаты совпадают с результатами, полученными по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы - значит, решение найдено верно.