решить в натуральных числах
x^2y+y^2x-y^2-x^2=1​

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Замена: .

Тогда:

Выполним деление уголком и получим:

Откуда очевиден переход (нам нужны натуральные решения!):

Откуда .

Так как по условию просят найти только натуральные решения, очевидно, что случаи рассматривать не надо, так как сумма натуральных чисел есть натуральное число.

Тогда имеем единственный случай

Выполним обратную замену, получив систему уравнений:

Проводя аналогию с теоремой Виета, получаем, что ответом будет две пары: и .

Задание выполнено!

Комментарий:

Несложно найти все целые решения. Покажем это:

Для каждого найдем :

Мы получили системы уравнений (делаем обратную замену):

Решая системы для каждого из случаев, получаем:

1) ничего не дает

2) или .

3) или .

4) ничего не дает