Предмет: Математика, автор: 1964679

Найти частное решение дифференциального уравнения
y’-y=y^3e^-x , y(0)=1

Ответы

Автор ответа: d3782741

1

$\left\{\begin{array}{@{}l@{}} y'-y=y^3\cdot e^{-x},\\[8pt] y(0)=1\end{array}\right.$

Преобразуем ДУ и найдем общее решение:

$\displaystyle y'=y\left(y^2 e^{-x} +1\right),\\[10pt] \left(\ln y\right)'=y^2 e^{-x}+1,\\[10pt] \longrightarrow u(x)=\ln y(x)\implies y(x)=e^{u(x)},\\[10pt] u'=e^{2u-x}+1,\\[10pt] (u-x)' = e^{2u-x},\\[10pt] \longrightarrow u(x)-x=f(x)\implies u(x)=f(x)+x,\\[10pt] f'=e^{2f} e^{x},\\[10pt] \int e^{-2f}\,\mathrm{d}\big({-2f}\big)=-2\int e^{x}\,\mathrm{d} x,$

$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}\ln\big| {-2 e^{x}} + C\big|,\\[10pt] u(x) = \ln\big|{-2 e^{x}} + C\big|^{-\frac{1}{2}}+x,\\[10pt] \boxed{y(x) =\frac{e^x}{\sqrt{C-2 e^x}}}$

Выделим частное решение (найдём константу):

$\displaystyle y(0)=1,\\[10pt] \frac{1}{\sqrt{C-2}} = 1 \implies C=3$

Ответ. $y(x)=\dfrac{e^x}{\sqrt{3-2e^x}}$

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Русский язык, автор: soklakova2002

Как проверить?
Передающем или передающим
И пожалуйста объясните почему

2 года назад

Предмет: Русский язык, автор: Ilyxa31316575

Вспомните правила написания не с именами существительными Спишите предложения, раскрывая скобки и всьавляя, где нужно, пропущенные буквы Объясните
правописание слов

(Не) скоше...ые луга так душ...сты, что с (не) привычки туманит...ся и т...желеет голова. Только ты, моя милая птич...ка, в тёплом гнёзд...шке еле видна. (Светло)груда,ле..гка, (не) величка, (не) запугана бурей одна. Дом ещё (не) закончен, д...сяток плотников возит...ся вокруг него. (Не) укр...пляющим, а рас...лабляющим образом действует (после) обеден...ый сон в душной ...тмосфоре

2 года назад

Предмет: Русский язык, автор: sofi20072

план по картине Пластова ,, Первый снег"

2 года назад

Предмет: Математика, автор: Аноним

1) √88005553535
2) 88005553535²

8 лет назад

Предмет: Русский язык, автор: 46908732346

Русский язык 7 класс задание 5 и 6!!!!!!!

8 лет назад