Предмет: Математика, автор: polinaoblitseva

ДАМ 100 БАЛЛОВ ЗА 1 ЗАДАЧУ. ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ
Дифференциальное уравнение

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Alnadya

1

Задано диффер. уравнение 1 пор. с однородными функциями. Решаем с помощью замены.

$y'=\dfrac{2y-x}{2x+y}\ \ ,\ \ \ y(1)=1\\\\\\u=\dfrac{y}{x}\ \ ,\ \ y=ux\ ,\ \ y'=u'x+u\\\\u'x+u=\dfrac{2ux-x}{2x+ux}\ \ ,\ \ \ u'x+u=\dfrac{2u-1}{2+u}\ \ ,\ \ u'x=\dfrac{2u-1-2u-u^2}{2+u}\ ,\\\\\\u'x=-\dfrac{u^2+1}{u+2}\ \ ,\ \ \dfrac{x\, du}{dx}=-\dfrac{u^2+1}{u+2}\ \ ,\ \ \displaystyle \int \frac{(u+2)du}{u^2+1}=-\int \frac{dx}{x}\ ,$

$\displaystyle \frac{1}{2}\int \frac{2u\, du}{u^2+1}+2\int \frac{du}{u^2+1}=-\int \frac{dx}{x}\\\\\\\frac{1}{2}\, ln|u^2+1|+2arctg\, u=-ln|x|+lnC\\\\\\\frac{1}{2}\, ln\Big(\dfrac{y^2}{x^2}+1\Big)+2arctg\frac{y}{x}=ln\frac{C}{x}$ - общий интеграл .

Подставляем начальные условия, найдём значение константы .

$\dfrac{1}{2}\, ln2+2arctg1=lnC\ \ ,\ \ \dfrac{ln2}{2}+2\cdot \dfrac{\pi}{4}=lnC\ \ ,\ \ lnC=ln\sqrt2+\dfrac{\pi }{2}$

Частный интеграл $\displaystyle \frac{1}{2}\, ln\Big(\dfrac{y^2}{x^2}+1\Big)+2arctg\frac{y}{x}=ln\sqrt2+\dfrac{\pi }{2}-lnx$

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Русский язык, автор: Zamikonya

Что такое косогором

2 года назад

Предмет: Окружающий мир, автор: Мария9Шевченко

Сорока перелётная птица или нет????

2 года назад

Предмет: Русский язык, автор: кс913

Через дефис пишется существительное.
1(Пол) дела
2(Полу) мрак
3(Пол) дыни
4(Пол) луковицы
5(Пол) часа

2 года назад

Предмет: Математика, автор: Зая1234567

Помогите решить
Вопрос жизни и смерти

8 лет назад

Предмет: Математика, автор: t1alin040107

Вычислить 5/8 * 4/15

8 лет назад