5. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник делит гипотенузу на отрезки, равные 5 cm и 12 cm. Найдите катеты этого треугольника.

а) РО = ОТ = РА = АТ , Получается квадрат АРОТ у котого все стороны равны;

б) РВ = ВК = 12 см

с) КС = ТС = 5 см

Пусть АР = АТ = х см, тогда АВ = 12 + х, АС = х + 5, ВС = 12 + 5 = 17 см

Используем теорему Пифагора:

ВС² = АВ² + АС²

17² = (12 + х)² + (х + 5)²

289 = 144 + 24х + х² + х² + 10х + 25

2х² + 34х - 120 = 0 скоротим на 2

х² + 17х - 60 = 0

ищим дискриминантом

Д = 289 + 240 = 529 = 23²

х1 = 3

х2 = -20 - не удовлетворяет.

АВ = 12 + 3 =15см

АС = 3 + 5 = 8см