3. Знайдіть кількість-n членів геометричної прогресії у якій , b1=3/4

4. Знайти числа, що утворюють таку арифметичну прогресію, сума перших трьох членів якої дорівнює 15 ; сума останніх трьох дорівнює 78 , а сума всіх членів дорівнює 155.(помилка на картинці якщо що то виправив на картинці. )

5.Сума перших чотирьох членів нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює 9/25 суми и всіх членів. Знайти перший член і знаменник ціеї становить прогресії, якщо другий п член дорівнює 8.

Ответ:

Объяснение:

3. b₁=3/4; bₙ=3072; Sₙ=2048,25

По формулам:

n-го члена геометрической прогрессии bₙ=b₁qⁿ⁻¹;

сумме n первых членов геометрической прогрессии Sₙ=(b₁(qⁿ-1))/(q-1).

3072=3/4 ·qⁿ⁻¹

qⁿ⁻¹=3072·4/3

qⁿ⁻¹=4096

qⁿ/q=4096

qⁿ=4096q

2048,25=(3/4 ·(4096q-1))/(q-1)

2048,25·4(q-1)=12288q-3

8193q-8193=12288q-3

12288q-8193q=-3+8193

4095q=8190

q=2

2ⁿ⁻¹=4096

2ⁿ⁻¹=2¹²

n-1=12

n=12+1

n=13

Ответ: 13.

4. По формулам:

арифметической прогрессии aₙ₊₁=aₙ+d;

суммы n первых членов арифметической прогрессии Sₙ=(a₁+aₙ)/2 ·n.

S₃=(a₁+a₃)/2 ·3

15=(a₁+a₃)/2 ·3

a₁+a₃=15·2/3

a₁+a₃=10

a₁+a₂+a₃=15

10+a₂=15

a₂=15-10

a₂=5

S₃=(aₙ₋₂+aₙ)/2 ·3

78=(aₙ₋₂+aₙ)/2 ·3

aₙ₋₂+aₙ=78·2/3

aₙ₋₂+aₙ=52

aₙ₋₂+aₙ₋₁+aₙ=78

52+aₙ₋₁=78

aₙ₋₁=78-52

aₙ₋₁=26

a₂=a₁+d

5=a₁+d

a₁=5-d

aₙ=aₙ₋₁+d

aₙ=26+d

155=(5-d+26+d)/2 ·n

155·2=31n

n=310/31

n=10

Ответ: a₂=5; aₙ₋₁=a₁₀₋₁=a₉=26; n=10.

5. Ну как так можно написать "Сумма первых четырех членов бесконечно нисходящей геометрической прогрессии равна 9/25 суммы и всех членов"? Я так понимаю, 9/25 всей суммы всех членов, и без всяких "и".

S=9/25; b₂=8

По формулам:

геометрической прогрессии bₙ₊₁=bₙq;

сумма n первых членов геометрической прогрессии Sₙ=(b₁(qⁿ-1))/(q-1);

сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии S=b₁/(1-q).

b₂=b₁q

8=b₁q

b₁=8/q

S₄=(b₁(q⁴-1))/(q-1)=(8/q ·(q⁴-1))/(q-1)=(8(q⁴-1))/(q(q-1))

S=(8/q)/(1-q)=8/(q(1-q))

25/9 ·(8(q⁴-1))/(q(q-1))=8/(q(1-q))

25/9 ·((8(q⁴-1))/(q(q-1))=-8/(q(q-1))                           |(q(q-1))

25·8(q⁴-1)=-8·9                                                     |8

25(q⁴-1)=-9

25q⁴=-9+25

5q²=√16

q²=4/5

q=±√(4/5)

q₁=-2/√5=(-2√5)/5; b₁=8/(-2/√5)=8·(-√5)/2=-4√5

q₂=2/√5=(2√5)/5; b₁=8/(2/√5)=4√5

Ответ: b₁=-4√5; q₁=(-2√5)/5 и b₁=4√5; q₁=(2√5)/5