Помогите решить, вычислить определенные интегралы методом по частям, пожалуйста!!!

Ответ: 1/4*e²+5/4.

Пошаговое объяснение:

Обозначим искомый интеграл через I. По формуле Ньютона-Лейбница, I=F(e)-F(1), где F(x)=∫(x+1)*ln(x)*dx. Для нахождения F(x) применим метод "по частям". Пусть u=ln(x), dv=(x+1)*dx ⇒ du=dx/x, v=1/2*x²+x ⇒ F(x)=u*v-∫v*du=1/2*x²*ln(x)+x*ln(x)-1/2*∫x*dx-∫dx=1/2*x²*ln(x)+x*ln(x)-1/4*x²- x. Отсюда I=1/2*e²+e-1/4*e²-e-( -1/4-1)=1/4*e²+5/4.