Доказать неравентсво:

(b+c+d)/a + (a+c+d)/b + (a+b+d)/c + (a+b+c)/d  >= 12

при a>0  b>0  c>0  d>0

Возьмём все эти числа равными 1
Тогда получаем:
(1+1+1)/1 + (1+1+1)/1 + (1+1+1)/1 + (1+1+1)/1  >= 12
3/1+3/1+3/1+3/1=3+3+3+3=12
Это минимальное значение, если возьмёшь хотя бы одно из чисел больше, то и результат увеличится. 
Поэтому неравенство доказано

А в общем виде? Нужно доказать используя неравенство Коши.

Там нет условий, что числа натуральные, а значит могут быть и меньше 1.