1)KA - перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. Известно, ЛИ перпендикулярно к BC. а) докажите, что треугольник ABC - прямоугольный. б) докажите, перпендикулярность плоскостей KAC и ABC. в) найдите KA, если AC=13см, BC=5см, угол KBA=45 градусов. 2) основание AC равнобедренного треугольника лежит в плоскости *альфа*. найдите расстояние от точки B до плоскости *альфа*, если AB=20 см, AC=24 см, а двугранный угол между плоскостями ABC и *альфа* равен 30 градусам. 3) из точки A к плоскости *альфа* проведены наклонные AB и AC, образующие с плоскостью *альфа* равные углы. известно, чо BC=AB. найдите углы треугольника ABC. Пожалуйста! СРОЧНО надо ="( заранее спасибо!

1. KA - перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. Известно, КВ⊥BC.

а) докажите, что треугольник ABC - прямоугольный.

б) докажите, перпендикулярность плоскостей KAC и ABC.

в) найдите KA, если AC = 13 см, BC = 5 см, ∠KBA = 45°.

а) КВ - наклонная к плоскости ΔАВС, АВ - ее проекция, так как КВ⊥ВС, то и АВ⊥ВС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. Значит ΔАВС прямоугольный.

б) КА⊥(АВС), КА⊂(КАС), ⇒ (КАС)⊥(АВС), так как если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.

в) Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:

АВ = √(АС² - ВС²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см

ΔКАВ прямоугольный с углом 45°, значит равнобедренный,

КА = АВ = 12 см

2. ВО⊥α. ВО - искомое расстояние от точки В до плоскости α.

Пусть Н - середина АС.  Треугольник АВС равнобедренный, значит ВН - медиана и высота треугольника.

ВН⊥АС, ОН - проекция ВН на плоскость α, значит ОН⊥АС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. Значит

∠ВНО = 30° - линейный угол двугранного угла между плоскостями АВС и α.

ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора:

            ВН = √(АВ² - АН²) = √(20² - 12²) = √(400 - 144) = √256 = 16 см

ΔВОН: ∠ВОН = 90°,

            ВО = ВН/2 = 8 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°.

3. АО⊥α.

ОВ и ОС - проекции наклонных на плоскость α.

∠АВО = ∠АСО - углы, образованные наклонными с плоскостью α.

ΔАОВ = ΔАОС по катету и противолежащему острому углу (АО - общий катет, ∠АВО = ∠АСО по условию), значит

АВ = АС, а так как АВ = ВС по условию, то треугольник АВС равносторонний.

Углы ΔАВС равны 60°.