Предмет: Алгебра, автор: bb573878

Решите уравнение
$\boldsymbol{(x+\sqrt{x^2+1} )^8+(x^2+1+x\sqrt{x^2+1} )^8=337}$

Приложения:

Ответы

Автор ответа: MrSolution

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^8+\left(x^2+1+x\sqrt{x^2+1}\right)^8=337$

Заметим одну интересную особенность:

$\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^8=\left(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^2\right)^4=\left(2\left(x^2+1+x\sqrt{x^2+1}\right)-1\right)^4$

Введем замену:

$t=x^2+1+x\sqrt{x^2+1},\;t > 0$

Тогда исходное уравнение примет вид:

$\left(2t-1\right)^4+t^8=337$

Один из корней этого уравнения $t=2$ угадывается.

Покажем, что других положительных корней нет.

При $t > 2$ имеем, что $t^8 > 256,\;\left(2t-1\right)^4 > 81$ , откуда $\left(2t-1\right)^4+t^8 > 337$ .

При $0 < t < 2$ имеем, что $0 < t^8 < 256$ и $1 < \left(2t-1\right)^4 < 81$ . Тогда $1 < \left(2t-1\right)^4+t^8 < 337$ .

Получили, что $t=2$ единственный положительный корень.

Сделаем обратную замену и получим более простое уравнение:

$x^2+1+x\sqrt{x^2+1}=2$

Умножим его на $\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)\ne0$ и получим:

$-\sqrt{x^2+1}=2x-2\sqrt{x^2+1}\\\sqrt{x^2+1}=2x$

Из последнего уравнения находим, что $x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ есть единственный корень исходного уравнения.

Уравнение решено!

Комментарий:

Решение уравнения $\sqrt{x^2+1}=2x$ тривиальное, поэтому его я опускаю. Получили полное решение без вычислительных излишеств, усложняющих восприятие сути задания.

MrSolution: Здравствуйте, bb573878!
В приличном обществе, принято сначала связаться с автором решения, указав, что Вы не считаете верным, а не ставить ответу 1* и отмечать нарушение. При наличии у меня свободного времени, я всегда открыт к диалогу и готов исправить ответ, если посчитаю это необходимым. Высказываю Вам свое фи и надеюсь, что в дальнейшем Вы пересмотрите подобное поведение с вашей стороны.
С уважением,
MrSolution.

bb573878: задавая вопрос, я хочу получить полный ответ, а не советы https://prnt.sc/vP6xuUOC6wu3

bb573878: оценку я Вам пока еще не ставил, могу сказать спасибо и поставить оценку 5, но решение от этого не станет полным ( ваше фи заберите себе)

bb573878: просьба: не помогайте мне, проходите мимо моих заданий))

bb573878: https://prnt.sc/uJ6ZGGiHEERi

MrSolution: Я пишу такое решение, которого достаточно человеку, чтобы понять, что от него хотят. Главное в решении - это навести человека на мысль, а не скормить ему буковки с циферками. Решение последнего уравнения - это тривиальная задача для тех, кто спрашивает такое, что Вы. По поводу оценки, приношу извинения. Увидел 1 звезду, а потом, через 10 минут после комментария появилась еще одна, а ответа от Вас не было. Что же мне было еще думать?

MrSolution: Я рад, что это оказалось недоразумением и извиняюсь за поспешные выводы об оценке. Однако в основном остаюсь при своей позиции: пожалуйста, сначала пишите, что Вас не устраивает, а потом принимайте крайние меры. Пройти мимо интересного задания выше моих сил, поэтому я продолжу думать над тем, что Вы выкладываете. И потом, сколько людей решило те ~5 задач, что Вы выложили сюда в мае.

MrSolution: Только 1 человек 1 номер. Данный номер бы Вам никто другой не написал, тем более, что вопрос висел уже достаточное количество времени и был близок к удалению. Я не вижу ничего плохого в своих действиях.