Предмет: Математика, автор: gavralex04

Помогите пожалуйста, выш мат

Приложения:

Ответы

Автор ответа: axatar

Ответ:

Ряд сходится

Пошаговое объяснение:

Условие задачи: Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд: $\displaystyle \tt \sum^{+\infty} _{n=1} \frac{1}{(2 \cdot n+1)!} .$

Признак Даламбера: Если для числового ряда $\displaystyle \tt \sum^{+\infty} _{n=1} a_n$ начиная с некоторого номера n, выполняется неравенство

$\displaystyle \tt \left | \frac{a_{+1}}{a_n} \right | < 1,$

то ряд сходится, а если

$\displaystyle \tt \left | \frac{a_{+1}}{a_n} \right | > 1,$

то ряд расходится.

В нашем случае

$\displaystyle \tt a_n=\frac{1}{(2 \cdot n+1)!}.$

Применим признак Даламбера:

$\displaystyle \tt \left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right | =\frac{\dfrac{1}{(2 \cdot (n+1)+1)!}}{\dfrac{1}{(2 \cdot n+1)!}} =\frac{\dfrac{1}{(2 \cdot n+3)!}}{\dfrac{1}{(2 \cdot n+1)!}} =\frac{(2 \cdot n+1)!}{(2 \cdot n+3)!} =\\\\=\frac{(2 \cdot n+1)!}{(2 \cdot n+1)! \cdot (2 \cdot n+2) \cdot (2 \cdot n+3)} =\frac{1}{(2 \cdot n+2) \cdot (2 \cdot n+3)} =\\\\=\frac{1}{4 \cdot n^2+10 \cdot n+6} \leq \frac{1}{20} < 1 , \;\;\;n \geq 1.$