Предмет: Алгебра, автор: Novaya22

100 баллов! срочно! решить уравнение!
$\sqrt{x + 6} + \sqrt{x - 1} + 2 \sqrt{ {x}^{2} + 5x - 6 } = 51 - 2x$

Ответы

Автор ответа: nelle987

Ответ:

x = 10

Объяснение:

Заметим, что в данном случае корень из произведения можно заменить на произведение корней:

$2\sqrt{x^2+5x-6}=2\sqrt{(x+6)(x-1)}=2\sqrt{x+6}\sqrt{x-1}$

В такой форме это похоже на удвоенное произведение. Сделаем из него квадрат суммы, прибавив в обе части уравнения $\left(\sqrt{x+6}\right)^2+\left(\sqrt{x-1}\right)^2=2x+5$ :

$\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}\right)^2=56$

Сделаем замену переменной $\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}=t\geqslant 0$ , получим квадратное уравнение относительно t:

$t+t^2=56\\t^2+t-56=0$

Корни этого уравнения t = -8 и t = 7, подходит только последний — сумма двух корней не может равняться отрицательному числу.

$\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}=7$

Функция в левой части уравнения возрастает, так что у уравнения есть не более одного корня. Легко убедиться, что x = 10 обращает равенство в верное.

Можно решить и "по-честному": перенесем один из корней в правую часть и возведём в квадрат

$\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}=7\\\sqrt{x+6}=7-\sqrt{x-1}\\\begin{cases}x+6=49-14\sqrt{x-1}+x-1\\7-\sqrt{x-1}\geqslant 0\end{cases}\quad \begin{cases}14\sqrt{x-1}=42\\\sqrt{x-1}\leqslant 7\end{cases}$

(неравенство нужно для того, чтобы не потерять равносильность преобразований. Можно обойтись и без него, но тогда нужно будет проверить найденные корни подстановкой)

Поделив уравнение на 14 заключаем, что корень из x - 1 равен 3 (при этом неравенство выполнено, его дальше тянуть не надо)

$\sqrt{x-1}=3\\x-1=9\\x=10$

antonovm: Всё верно , ещё вариант : при x >=1 все три корня возрастают ( у квадратичной функции под третьим корнем абсцисса вершины равна - 2,5 и при x > 1 она возрастаает ) , значит левая часть возрастает ( как сумма 3 возрастающих ) , а правая - убывает , значит решений не более одного , x = 10 - единственное решение