Предмет: Алгебра, автор: Novaya22

100 баллов! срочно! решить уравнение с параметром
$\sqrt{ |x| + 1 } - \sqrt{ |x| } = a$

Ответы

Автор ответа: yugolovin

Ответ:

Если a∈(0;1|, то $x=\pm \dfrac{(1-a^2)^2}{4a^2}.$ При прочих a решений нет.

Объяснение:

Поскольку $\sqrt{|x|+1} > \sqrt{|x|},$ делаем вывод, что a>0. Кроме того, функция $f(x)=\sqrt{|x|+1}-\sqrt{|x|}=\dfrac{1}{\sqrt{|x|+1}+\sqrt{|x|}}$ четная (f(-x)=f(x)) и при x>0 убывающая. Поэтому самое большое значение эта функция достигает при x=0, и это значение равно 1. Поэтому для a можно сделать и такое ограничение: a≤1. Пока мы не знаем, как эти рассуждения помогут нам жить, но хуже точно не будет. Итак, a∈(0;1].

Обозначим:

$\sqrt{|x|+1}=p\ge 1;\ \sqrt{|x|}=q\ge 0.$ Заметим, что

p²-q²=|x|+1-|x|=1, поэтому для нахождения p и q имеем систему

$\left \{ {{p-q=a} \atop {p^2-q^2=1}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{p-q=a} \atop {(p-q)(p+q)=1}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{p-q=a} \atop {a(p+q)=1}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{p-q=a} \atop {p+q=\frac{1}{a}}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{2p=a+\frac{1}{a}} \atop {2q=\frac{1}{a}-a}} \right. \Leftrightarrow$

$\left \{ {{4(|x|+1)=(a+\frac{1}{a})^2} \atop {4|x|=(\frac{1}{a}-a)^2}} \right. \Leftrightarrow 4|x|=\left(\dfrac{1}{a}-a\right)^2;\ x=\pm \dfrac{(1-a^2)^2}{4a^2}.$

Кстати, то, что a∈ (0;1), мы использовали при возведении в квадрат второго уравнения системы.

antonovm: больше 0,5 для всех х

antonovm: может быть это лишнее , но я бы добавил доказательство того , что (0 ;1 ] - множество значений f и значит a может принимать все значения от 0 до 1 и для каждого из них можно найти х

yugolovin: Я думаю, это принципиальный вопрос - обязан я или не обязан что-то добавлять к своему решению. Если я для каждого a предъявил решение, то какие могут быть сомнения? Я же в процессе решения думал о равносильности преобразований. Если бояться ошибки в решении, я бы предпочел сделать проверку подстановкой в уравнение

antonovm: Так я про себя говорил ( что добавил бы ) , оценку ( 0 ; 1] вы получили в начале решения и потом её использовали , я не спорю , что а не может быть вне этого промежутка , вопрос в другом : нужно ли доказательство того , что для а может принимать все значения из этого промежутка , вы считаете , что нет , а у меня другое мнение , ведь если разность 2 величин больше 0 для всех х ещё не означает , что она не может быть больше 0,5 для всех х

yugolovin: Пример: решаем уравнение \sqrt{x}=a; ограничение a>или =0; x=a^2

yugolovin: А здесь требуется дополнительное исследование на непрерывность и множество значений?

antonovm: скажу проще : если функция положительна , то это не означает , что множество её значений ( 0 ; ...) , разность корней может быть положительна , но наименьшим значением этой разности может быть некоторое положительное число , скажем предел разности 2 корней на бесконечности не обязан быть равен нулю

antonovm: например a = ( x^2 +1)/x^2 , ясно что a > 0 , но при a = 0,5 x не существует

yugolovin: Поэтому при таком a я не смогу найти x. Но я же нашел x при любом a из (0;1]

yugolovin: Подытоживая: исследовать a=f(x) несомненно полезно. Но: если я, не находя E(f), получаю ограничения на a, при которых дальнейшие преобразования оказываются равносильными, то, как мне кажется, я чист перед законом). В последнем примере я не обязан писать сразу a>1. Но получив x^2=1/(a-1), естественно я сразу это условие получаю.