Предмет: Математика, автор: kropivkaa07

Доведіть, що медіани трикутника поділяють його на шість рівновеликих
трикутників

Ответы

Автор ответа: GoldenVoice

Пошаговое объяснение:

Пусть $A{M_1}$ , $B{M_2}$ , $C{M_3}$ — медианы треугольника $ABC$ , $M$ — точка их пересечения. Как известно, каждая из медиан точкой их пересечения делится в отношении $2:1$ , считая от вершины:

$\displaystyle\frac{{AM}}{{M{M_1}}} = \displaystyle\frac{{BM}}{{M{M_2}}} = \displaystyle\frac{{CM}}{{M{M_3}}} = \displaystyle\frac{2}{1}.$

Отсюда, например,

$MM_3=\displaystyle\frac{1}{3}CM_3.$

Пусть площадь треугольника $ABC$ равна $S$ . По формуле

$S = \displaystyle\frac{1}{2}ah$

можно записать:

$S = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK.$

Тогда

${S_{A{M_3}C}} = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot A{M_3} \cdot CK = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{2}AB \cdot CK = \displaystyle\frac{1}{4}AB \cdot CK = \displaystyle\frac{S}{2}.$

Значит медиана делит треугольник на два треугольника одинаковой площади (равновеликих треугольника).

Рассмотрим треугольник $A{M_3}M$ — один из шести треугольников, на которые разбивается треугольник $ABC$ тремя медианами.

Его площадь

${S_{A{M_3}M}} = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot {M_3}M \cdot AW = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{3}{M_3}C \cdot AW = \\\\=\displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle\frac{1}{2}{M_3}C \cdot AW = \displaystyle\frac{1}{3}{S_{A{M_3}C}} = \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle\frac{S}{2} = \displaystyle\frac{S}{6}.$