Предмет: Алгебра, автор: Prosotoy

Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної X значення дробу невід'ємне
$\frac{ {x}^{2} + 4x + 4}{ {x}^{2} - 2x + 1}$

Cohendd: Что такое невидемне?

yevheniiavz: не отрицательное

Cohendd: В числителе и знаменателе квадраты чисел. Дробь положительная или ноль при всех значениях х кроме 1. При х=1 знаменатель=0.

Ответы

Автор ответа: Universalka

$\displaystyle\bf\\\frac{x^{2}+4x+4 }{x^{2} -2x+1} =\frac{(x+2)^{2} }{(x-1)^{2} }$

В числителе квадрат суммы двух выражений , значит числитель либо положителен , либо равен нулю .

В знаменателе квадрат разности двух выражений . Так как знаменатель дроби не должен равняться нулю , то знаменатель положителен .

Отсюда вывод , что частное либо положительно , либо равно нулю ,причём x ≠ 1 .

Автор ответа: Alnadya

Решение.

$\bf \dfrac{x^2+4x+4}{x^2-2x+1}=\dfrac{(x+2)^2}{(x-1)^2}$

В числителе и знаменателе выделили полные квадраты .

Допустимыми значениями переменной x будут те значения, при которых знаменатель не обращается в 0 .

ОДЗ: $\bf (x-1)^2\ne 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ x-1\ne 0\ \ ,\ \ \underline {x\ne 1}$

Числитель при любых значениях переменной х принимает неотрицательные значения, а знаменатель - только положительные значения при $x\ne 1$ .

При делении получим, что дробь при допустимых значениях переменной, то есть при $\bf x\in (-\infty \, ;\, 1\, )\cup (\ 1\, ;+\infty \, )$ , принимает только неотрицательные значения .