Предмет: Алгебра, автор: yulia17

Найдите сумму решений уравнения tg2x * cos2x = sin2x + sin4x, принадлежащих множеству [-П; 2П]

Ответы

Автор ответа: Geometr

Перепишем уравнение, учитывая, что $tg2x=frac{sin2x}{cos2x}$

$frac{sin2x}{cos2x}*cos2x=sin2x+sin4x$ -----(1)

В уравнение (1) выражение $cos2x$ находится в знаменателе, поэтому $cos2xneq0$ , или $2xneq<var>frac{pi}{2}+pi*m</var>$ , $m$ - целое

или $xneq<var>frac{pi}{4}+<var>frac{<var><var>pi*m</var></var>}{2}</var></var>$ , $m$ - целое-----(2)

Сократим в левой части уравнения (1) на $cos2x$ :

$sin2x=sin2x+sin4x$ , отсюда $sin4x=0$ , отсюда

$4x=pi*n$ , или $x=frac{pi*n}{4}$ , $n$ - целое ------(3)

Из решений (3) надо исключить значения, равные значениям (2):

$x=frac{pi*n}{4}</var>neq<var><var>frac{pi}{4}+<var>frac{<var><var>pi*m</var></var>}{2}</var></var>$ , отсюда

$pi*n</var>neq<var><var>pi+<var><var><var>2pi*m</var></var></var></var>$ , сокращая на $pi$ , получим

$n</var>neq<var><var>1+<var><var><var>2*m</var></var></var></var>$ - нечетные числа

Другими словами $n$ принимает только четные значения!

Из условия следует, что $-pi leqfrac{pi*n}{4}leq2pi$ , отсюда

$-4 leq n leq 8$

Таким образом, $n$ принимает значения ${-4, -2, 0, 2, 4, 6, 8}$

Видно, что решения (3) уравнения составляют арифметическую прогрессию с первым членом $a_{1}=-pi$ и последним седьмым членом

$a_{7}=frac{8*pi}{4}=2pi$

Теперь мы можем найти сумму $S$ всех решений уравнения как сумму первых семи членов арифметической прогрессии:

$S=7*frac{a_{1}+a_{7}}{2}=7*frac{-pi+2pi}{2}=3,5*pi$

Интересные вопросы

Предмет: Русский язык, автор: saryevajamilyapel7hm

7 лет назад

Предмет: Литература, автор: egordehnev

7 лет назад

Предмет: Математика, автор: dima0001162

7 лет назад

Предмет: Алгебра, автор: smak

разложить многочлен на множители х^3 - 7х + 6

10 лет назад

Предмет: Математика, автор: Аноним

выбери в каждом ряду уравнение с большим корнем и реши только его k+204=132*6 c+204=132*4 k*10=1465+2635 c*100=1465+2635

10 лет назад