Предмет: Математика, автор: Fr1nple

Помогите найти предел

Приложения:

Ответы

Автор ответа: MrSolution

1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\lim\limits_{\alpha\to0}\dfrac{(1-\cos\alpha)^2}{\mathrm{tg}^3\alpha-\sin^3\alpha}=\lim\limits_{\alpha\to0}\dfrac{(1-\cos\alpha)^2}{\sin^3\alpha\left(\dfrac{1}{\cos^3\alpha}-1\right)}$

Теперь вспоминаем про цепочку эквивалентностей и меняем:

$\sin^3\alpha$ на $\alpha^3$
$1-\cos\alpha$ на $\dfrac{\alpha^2}{2}$

Соответственно после сокращения получим:

$\dfrac{1}{4}\lim\limits_{\alpha\to0}\dfrac{\alpha}{\dfrac{1}{\cos^3\alpha}-1}=\dfrac{1}{4}\lim\limits_{\alpha\to0}\dfrac{\alpha\cos^3\alpha}{1-\cos^3\alpha}=\dfrac{1}{2}\lim\limits_{\alpha\to0}\dfrac{\cos^3\alpha}{\alpha\left(\cos^2\alpha+\cos\alpha+1\right)}$

(в последнем переходе мы вновь воспользовались цепочкой эквивалентности после того, как применили формулу разности кубов)

Итого пришли к лаконичному виду:

$\dfrac{1}{6}\lim\limits_{\alpha\to0}\dfrac{1}{\alpha}$

Найдем пределы с обеих сторон:

$\lim\limits_{a\to-0}\dfrac{1}{\alpha}=-\infty\\\lim\limits_{a\to+0}\dfrac{1}{\alpha}=+\infty$

Поскольку левосторонний и правосторонний пределы различны, то заключаем, что исходного предела не существует.

Задание выполнено!

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Математика, автор: bilays

Порівняй дроби:
1) 5/8 і 3/8;
2) 43/90 і 34/90;
3) 6/20 від 1 год і 15 хв;

1 год назад

Предмет: География, автор: ggjtsdfgg

Определи географические координаты пунктов А, Б и В
помогите

1 год назад

Предмет: Английский язык, автор: aalpyspaeva656

Choose the correct item. 8 1 Mark....... his watch repaired yesterday, 2 Where can I have my hair.......? A dye B dyed 3 She........ her house painted now. has B is having 4 Laura made the cake A) itself B herself C has had C themselves 5 Newspapers.......... to our doorstep. A are delivered deliver C have delivered 6 The museum will be opened

1 год назад

Предмет: Русский язык, автор: tuksumbaevaaazan

ПОМОГИТЕ :(
8 класс,упр 8,стр 149 Толстые вопросы,3 вопрос:

Почему у Серёжи не сложились отношения с Гусевым?

7 лет назад

Предмет: Математика, автор: Аноним

одновременно противоположные направление с автовокзала выехали автомобиль и велосипедист Скорость автомобиля составляет 70 км /час,а велосипедист-23км/час.Какое расстояние будет между ними через 2часа? Нам нужно дано пожалуйста помогите нам

7 лет назад