Предмет: Алгебра, автор: FaerVator

Найдите значения выражений:
\large 3) \arccos( \cos6) \\ \large4) \arccos( \cos20)
Объясните , почему ответ не 6 или 20? Допустим , когда arccos(cos1,1) = 1,1 , а в 3) и 4) почему не так?
​

Ответы

Автор ответа: Artem112
3

Область значений функции y=\arccos x:

E(y)=[0;\ \pi]

Поэтому равенство \arccos(\cos t)=t выполняется при t\in[0;\ \pi].

Равенство \arccos(\cos 1.1)=1.1 выполняется, так как 1.1\in[0;\ \pi].

3) Обозначим искомую величину:

t=\arccos(\cos 6)

Найдем косинус левой и правой части:

\cos t=\cos(\arccos(\cos 6))

\cos t=\cos 6

Косинусы двух аргументов равны, когда эти аргументы равны или противоположны с точностью до 2\pi. Получим:

\left[\begin{array}{l} t=6+2\pi k \\ t=-6+2\pi k\end{array}\right.

Как было сказано выше, t\in[0;\ \pi]. Поэтому, нужно определить при каком k выполняется одно из двух условий.

Рассмотрим первое неравенство:

0\leqslant 6+2\pi k \leqslant\pi

-6\leqslant 2\pi k \leqslant\pi-6

-\dfrac{6}{2\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{\pi-6}{2\pi}

-\dfrac{3}{\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{1}{2} -\dfrac{3}{\pi}

Из оценки:

-1 < -\dfrac{3}{3.14} < -\dfrac{3}{\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{1}{2} -\dfrac{3}{\pi} < \dfrac{1}{2} -\dfrac{3}{3.15} < 0

понятно, что целых чисел, удовлетворяющих первому неравенству,

нет.

Рассмотрим второе неравенство:

0\leqslant -6+2\pi k \leqslant\pi

6\leqslant 2\pi k \leqslant6+\pi

\dfrac{6}{2\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{6+\pi}{2\pi}

\dfrac{3}{\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{3}{\pi}+\dfrac{1}{2}

Так как 0 < \dfrac{3}{\pi} < 1 и 1 < \dfrac{3}{\pi}+\dfrac{1}{2} < 2, то единственное целое число, удовлетворяющее неравенству: k=1.

То есть:

t=-6+2\pi\cdot1=2\pi-6

Или:

\boxed{\arccos(\cos 6)=2\pi -6}

4) Рассуждаем по аналогии:

t=\arccos(\cos 20)

\cos t=\cos 20

Возможны две ситуации:

\left[\begin{array}{l} t=20+2\pi k \\ t=-20+2\pi k\end{array}\right.

Первое неравенство:

0\leqslant 20+2\pi k \leqslant\pi

-20\leqslant 2\pi k \leqslant\pi-20

-\dfrac{20}{2\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{\pi-20}{2\pi}

-\dfrac{10}{\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{1}{2} -\dfrac{10}{\pi}

Так как 3 < \pi < \dfrac{10}{3}, то 3 < \dfrac{10}{\pi} < \dfrac{10}{3}. Тогда:

-\dfrac{10}{3} < -\dfrac{10}{\pi} < -3;\ -3 < \dfrac{1}{2}-\dfrac{10}{3} < \dfrac{1}{2} -\dfrac{10}{\pi} < \dfrac{1}{2}-3 < -2

Целое значение, удовлетворяющее неравенству:

k=-3

Тогда:

t=20+2\pi\cdot(-3)=20-6\pi

Или:

\boxed{\arccos(\cos 20)=20-6\pi }

Второе неравенство дать решений не должно:

0\leqslant -20+2\pi k \leqslant\pi

20\leqslant 2\pi k \leqslant20+\pi

\dfrac{20}{2\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{20+\pi}{2\pi}

\dfrac{10}{\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{10}{\pi}+\dfrac{1}{2}

Используя ранее полученную оценку:

3 < \dfrac{10}{\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{10}{\pi}+\dfrac{1}{2} < \dfrac{10}{3} +\dfrac{1}{2} < 4

Действительно, второе неравенство не дает целых решений.

Ответ: arccos(cos6)=2п-6

arccos(cos20)=20-6п

FaerVator: спасибо большое)
Предыдущий вопрос
Следующий вопрос
Интересные вопросы
Предмет: Химия, автор: zasaa2007
В синтезі днк бере участь? :
а) днк-полімераза
б) т-РнК
в) глікоген
г) РнК-рестриктаза​
1 год назад
Предмет: Английский язык, автор: datsyukd
1. It’s Monday today, but if it ___________________ (be) Saturday, I ______________________ (go) to the beach.
1 год назад
Предмет: Українська література, автор: snejanakachanova7777
Запишіть два  крилаті  вислови  Т. Шевченка.   ПІД  КОЖНИМ  напишіть  із  якого  вони  твору  та  прокоментуйте,  як  ви  КОЖЕН  із  них   розумієте: Та читайте од  слова  до  слова,                                                        * Учітесь,  читайте, і чужому  научайтесь, не минайте  ані  титли,  ніже  тії  коми,                                               Й  свого  не   цурайтесь! Все  розберіть...та  й  спитайте тоді  себе:  що  ми?..  Чиї  сини? Яких  батьків?  Ким?  За  що  закуті?
допоможіть будь ласка срочно треба!!✍️​
1 год назад
Предмет: Французский язык, автор: baranovavaleria406
Помогите пожалуйста срочно,не понимаю(Баллов много дам

2. A chacun ses préférences. Complète les phrases avec. Дополни предложения

формами слитного артикля

a )au, b) à la, c) aux, d) du, e) de la.

1) Alex est très sérieux et intelligent. Il aime joue............ (les échecs).

2) Nina va à l’école musicale. Elle joue ......(le piano).

3) Thomas fait partie du groupe. Il joue ......(la guitare).

4) Estelle est très sportive. Elle joue ..... (le tennis).

5) Léa est très érudite. Elle va souvent .....(la bibliothèque).

3. Complète les phrases ci-dessous avec les mots : a) le voyage, b) la campagne, c) beaucoup

d’avantages, d) les inconvénients, e) la mer, f) les montagnes, g) l’air pur. Дополни

предложения подходящими словами. Внимание: два слова - лишние

1) A la campagne on peut respirer ...........

2) On dit que la vie en ville a .................

3) Quels sont ....... de la vie à la campagne?

4) On peut faire des voyages dans ............... ;

5) Je vais à ....... avec mes parents.

4. Complète les phrases avec. Дополни предложения

a) y, b) de, c) en.

1) A Paris il y a beaucoup ..... musée et ..... monuments historiques.

2) Combien de musées y a-t-il à Paris ? Il y ..... a 80.

3) Je m’intéresse aux voyages. Moi, aussi, je m’..... intéresse.

4) Vous allez à la bibliothèque. Vous ..... allez pour travailler.

5) Je reviens du parc. J’...... chez moi
7 лет назад
Предмет: Українська мова, автор: PlanetsPavlik915
Розставте коми Зробіть синтаксичний розбір речень

Наді мною вечір жменями засіває зорі біля мене арфами бринять підморожені верби.
7 лет назад