Предмет: Алгебра, автор: Gimngazia

Пусть последовательность ${c_{n}$ задана условиями:

$c_{1}=0\\c_{2}=1 \\c_{n+1}=\frac{1}{3} c_{n}+\frac{2}{3}c_{n-1}, n\geq 2$

Найти предел последовательности.

Ответы

Автор ответа: igorShap

1

Ответ:

$\dfrac{3}{5}$

Объяснение:

Рекуррентное соотношение перепишем в виде

$c_{n+1}-c_n=-\dfrac{2}{3}\cdot\left(c_n - c_{n-1}\right), n\geq 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$

Введем обозначение $\Delta c_{k}=c_k-c_{k-1}$ . Тогда $(1)$ примет вид

$\Delta c_{n+1}=-\dfrac{2}{3}\cdot \Delta c_{n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$

Начальное условие $\Delta c_2=1-0=1$ .

Заметим, что

$\sum\limits_{k=2}^n\Delta c_k=(c_2-c_1)+(c_3-c_2)+...+(c_n-c_{n-1})=c_n-c_1=c_n-0=c_n$ . Соответственно, искомый предел равен $\lim\limits_{n\to\infty}c_n=\sum\limits_{k=2}^\infty\Delta c_k$ .

Осталось заметить, что согласно $(2)$ и начальному условию $\Delta c_k$ - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем $-\dfrac{2}{3}$ и начальным членом $1$ .

Ее сумма равна

$\sum\limits_{k=2}^\infty\Delta c_k=\dfrac{1}{1-\left(-\dfrac{2}{3}\right)}=\dfrac{3}{5}$

igorShap: Как вариант можно было найти общую формулу n-го члена, это линейное соотношение, и характеристическое уравнение здесь простое.

igorShap: И, собственно, найти предел уже обычной последовательности

Gimngazia: В условии n больше или равно 2, почему у вас 3?

Gimngazia: а как можно найти формулу общего н члена? как-то выразить через рек. соотношение?

igorShap: >=3, т.к. у Вас член с номером 2 уже в начальных условиях есть.

igorShap: Характеристическое уравнение для линейного рекуррентного соотношения использовать

Gimngazia: а, понятно. Спасибо вам за помощь!

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Математика, автор: nadenana399

Іван Іванович ловив рибу протягом 5 годин.За першу годину він піймати 9 рибин,що складає 30% Усього вилову.Скільки рибин КРАТКО И ПОНЯТНО ДЛЯ 4 КЛАСА

1 год назад

Предмет: Английский язык, автор: nadezdarudko16

Надо 3 предложения что бы в каждом было три времени Past Simple, Past Continuous, Past Perfect

1 год назад

Предмет: Українська мова, автор: 0632138992life

Запишіть речення, розставляючи розділові знаки та
вставляючи пропущені букви. Підкресліть головні та
другорядні члени речення. У третьому реченні надпишіть
частини мови над кожним словом. только напішите полностю как підкреслювати и які слова підкреслювати
1.Я дуже люблю як сп..ває бабуся. 2.Ще ранок дихає
прох..лодою від сну підводиться трава (А. Малишко). 3.Ввеч..рі
на небі сп..лахують міріади зірок а на морі стел..ться м..сячна
доріжка.

1 год назад

Предмет: География, автор: pivtoraus2007

Какая природная зона занимает полуостров Индостан?

7 лет назад

Предмет: Русский язык, автор: aselkabilbekova9

Словосачитание в разделе

7 лет назад