Предмет: Математика, автор: stoanovadinara

помогите пожалуйста решить, очень нужно.
Нужно решить дифференциальное уравнение второго порядка y``+3y`= -2x

Ответы

Автор ответа: flybirdster

0

Ответ: $y=C_{1} e^{-3x} +C_{2} -\frac{1}{3} x^{2} + \frac{2}{9} x$ , где С₁ и С₂ - const.

Пошаговое решение: для соответствующего однородного уравнения y'' + 3 y' = 0 составим характеристическое уравнение и найдем его общее решение:

$\lambda ^{2} +3\lambda =0$

$\lambda (\lambda +3)=0$

$\lambda _{1} =0$ $\lambda _{2} =-3$

$Y = C_{1} e^{-3x} +C_{2} e^{0*x} =C_{1} e^{-3x} +C_{2} e^{0} =C_{1} e^{-3x} +C_{2}$

Однородное уравнение имеет различные действительные корни, один из которых равен нулю. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде yₙ = Ax² + Bx.

Найдем первую и вторую производные:

$y_{n}' =(Ax^{2} + Bx)'=2Ax+ B$

$y_{n}'' =(y_{n} ')'=(2Ax+ B)'=2A$

Подставим их в соответствующие производные в изначальном уравнении:

$y'' + 3 y' = -2x$

$2A+3(2Ax+B)=-2x$

$2A+6Ax+3B=-2x$

$6Ax+2A+3B=-2x$

Составим систему уравнений и найдем А и В:

$\left \{ {{6A=-2} \atop {2A+3B=0}} \right.$

$A=-\frac{2}{6} =-\frac{1}{3}$

$2*(-\frac{1}{3})+3B=0$

$3B=\frac{2}{3}$ ⇒ $B=\frac{2}{3*3}=\frac{2}{9}$

Частное решение неоднородного уравнения примет вид

$y_{n} = -\frac{1}{3} x^{2} + \frac{2}{9} x$ .

Общее решение неоднородного уравнения:

$y=Y+y_{n} =C_{1} e^{-3x} +C_{2} -\frac{1}{3} x^{2} + \frac{2}{9} x$ , где С₁ и С₂ - const.

stoanovadinara: спасибо большое))

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Литература, автор: nastia1407sv

Написати твір роздум (5-10 речень) "я у ролі головного героя" з твору "Таємне Товариство Боягузів, або засіб від переляку номер 9"

1 год назад

Предмет: История, автор: lisasasina3110

На який півострів переплив Геракл з критським биком під час виконання 8 подвигу? СРОЧНОО

1 год назад

Предмет: Химия, автор: standoffsoul856

4. Ряд речовин, у якому кожен наступний член ряду відрізняється від попереднього на
групу атомів -СН2- називається

1 год назад

Предмет: Математика, автор: Аноним

решите задачу у меня 10 МИНУТ ПЛЗ!!!!!!!!!!!!!!
Сергей потратил в книжном магазине 1024 руб. На покупку учебника он израсходовал 60 % этой суммы, а на покупку ручки — 6 % этой суммы. Сколько стоили остальные товары, купленные Сергеем?

7 лет назад

Предмет: География, автор: Аноним

Что является не только материком, но и частью света?
Пожалуйста как можно быстрее!

7 лет назад