Предмет: Алгебра, автор: aisuulk

cos² 3x/4 + cos²x + cos² 5x/4=3/2
плииз!!!

Ответы

Автор ответа: reygen

Ответ:

$\left [\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{4}+ \dfrac{\pi n}{2} \\\\ x = \pm \dfrac{4}{3}\pi + 4\pi n ~ , ~ n \in \mathbb Z \end{array}$

Объяснение:

Воспользуемся формулой понижения степени

$\cos^{2} \alpha =\dfrac{1 + \cos2\alpha }{2}$

Таким образом

$\displaystyle \cos^2\frac{3x}{4} = \frac{1+ \cos \dfrac{3x}{2} }{2} \\\\\\ \cos ^2x =\frac{1 + \cos2 x}{2} \\\\\\ \cos^2\frac{5x}{4} =\frac{1+ \cos \dfrac{5x}{2} }{2}$

Мы получим уравнение :

$\displaystyle \frac{1+ \cos \dfrac{3x}{2} }{2} +\frac{1 + \cos 2x}{2} +\frac{1+ \cos \dfrac{5x}{2} }{2} =\frac{3}{2} \\\\\\\ \cos 1,5x + \cos 2,5x + \cos 2x=0$

Применим формулу

$\cos \alpha + \cos\beta = 2 \cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \dfrac{a-\beta }{2}$

$2\cos \dfrac{2,5x + 1,5x}{2} \cdot \cos \dfrac{2,5x - 1,5x}{2} + \cos 2x = 0 \\\\ 2 \cos 2x \cdot \cos 0,5x + \cos 2x =0 \\\\ \cos 2 x ( 2\cos 0,5x +1)=0$

Соответственно :

$\left [\begin{array}{l} \cos 2x = 0 \\\\ \cos 0,5x = -\dfrac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow \left [\begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi }{2}+ \pi n \\\\ 0,5x = \pm \arccos\bigg (\!\!-\dfrac{1}{2} \bigg ) + 2\pi n \end{array} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left [\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{4}+ \dfrac{\pi n}{2} \\\\ 0,5x = \pm \dfrac{2}{3}\pi + 2\pi n \end{array} \Leftrightarrow \left [\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{4}+ \dfrac{\pi n}{2} \\\\ x = \pm \dfrac{4}{3}\pi + 4\pi n ~ , ~ n \in \mathbb Z \end{array}$